§4.1 Königsberg 七橋問題
該提到的還是會提到哈哈。大家想必對於圖論起源的七橋問題非常熟稔了，這邊就簡單地提及。
< 待補 >
§4.2 一筆畫問題
對於這個問題 Euler 給出了非常厲害的觀察：
證明
"$\Rightarrow$" 這個方向比較簡單。考慮圖 $G$ 上面一筆畫的行跡，除了起點與終點以外，對於每一個點的「進入次數」與「離開次數」都是相等的，也就是說這些非起點與終點的度數都必須是偶數。此外，根據握手定理，奇度數的點的個數必須是偶數，因此得證。
"$\Leftarrow$" 我們可以對邊數 $m$ 進行歸納。$m=0$ 的時候，連通圖只有一個點，顯然所有邊可以被一筆畫完成。現在考慮 $m>0$。
如果 $G$ 度數都是偶數，我們隨便選一條邊 $e\in E$，然後考慮 $G'=G-e$。如果我們能證明出 $G'$ 是連通圖，那根據數學歸納法可以直接得出