應用：三角形格子點問題

重要的觀察：利用 X-Y 鏡射把斜率變陡！

是這樣的，我們可以把這個三角形的區域中的格子點數量寫成下列這個式子：

\[f(a, b, n) = \sum_{i=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{a}{b}i \right\rfloor\]

當 \(a < b\) 的時候，這是一條比較平緩的線。比如下圖，描述的是當 \(n=18\) 的時候且 \(a/b = 37/81\) 所圍成的三角形內部的格子點們。 (你可以在這個連結 https://www.geogebra.org/calculator/hugmrwqu 找到下面這張圖)

但是當你把 X 和 Y 座標反過來以後，就會變成一條斜率為 \(81/37\) 的直線了！ 所以我們可以得知，當 \(a < b\) 的時候，格子點內部的點數為『矩形內部總格點數』扣掉『另一半三角形』扣掉『剛好壓在邊上』的點數。

\[f(a, b, n) = (n-1)\left(\left\lceil \frac{an}{b} \right\rceil - 1\right) - f(b, a, \left\lceil \frac{an}{b} \right\rceil) - I(a, b, n)\]

其中 \(I(a, b, n)\) 是剛好壓在線上的格子點的數量（上述例子中剛好 \(I(a, b, n)=0\)）。

當斜率變陡以後

現在我們考慮 \(a > b\) 的情形。此時我們能用輾轉相除法的概念，令 \(a=b{\color{red}{q}}+{\color{darkgreen}{r}}\)，其中 \(r < b\) 是餘數且 \(q\ge 1\)。 我們便有了另一層代數上的見解：

\[ \begin{aligned} f(a, b, n) &= \sum_{i=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{a}{b}i \right\rfloor\\ &=\sum_{i=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{b{\color{red}{q}}+{\color{darkgreen}{r}}}{b}i \right\rfloor \\ &=\sum_{i=1}^{n-1} \left({\color{red}qi} + \left\lfloor \frac{\color{darkgreen}{r}}{b}i \right\rfloor\right) = q\frac{n(n-1)}{2} + f({\color{darkgreen}{r}}, b, n)\\ \end{aligned} \]

於是乎，我們就可以使用輾轉相除法的概念解決這題啦，讚吧！